Ilmu Statistika "PROBABILITAS"

PROBABILITAS

A. Pengertian Probabilitas

Pengertian Probabilitas adalah suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak. Kata probabilitas itu sendiri sering disebut dengan peluang atau kemungkinan. Probabilitas secara umum merupakan peluang bahwa sesuatu akan terjadi.

Konsep probabilitas memiliki peranan yang penting dalam kehidupan sehari-hari, mulai dari bidang ilmiah, bidang pemerintahan, bidang usaha atau industri, sampai pada masalah-masalah kecil seperti masuk kantor atau tidak karena awan tebal yang kemungkinan akan hujan deras dan banjir.

Dalam mempelajari probabilitas, ada tiga kata kunci yang harus diketahui yaitu eksperimen, hasil (outcome) dan kejadian atau peristiwa (even). Sebagai contoh, sebuah eksperiman dilakukan dengan menanyakan kepada 100 orang pembaca, apakah mereka akan mengambil mata kuliah statistik atau kalkulus. Dari eksperimen ini akan terdapat beberapa kemungkinan hasil. Contohnya kemungkinan hasil pertama ialah sebanyak 58 orang akan mengambil mata kuliah apapun. Kemungkinan hasil lain adalah bahwa 75 orang mengambil mata kuliah kalkulus dan sisanya mengambil mata kuliah statistik. Contoh lain dari eksperimen adalah pelemparan sebuah dadu. Hasil (outcome) dari pelemparan sebuah dadu tersebut kemungkian akan keluar biji satu atau biji dua atau biji tiga dan seterusnya. Kumpulan dari beberapa hasil tersebut dikenal sebagai kejadian (even).

Probabilitas biasanya dinyatakan dengan bilangan desimal (seperti 0,50, 0,20 atau 0,89) atau bilangan pecahan seperti 5/100, 20/100, 75/100. Nilai dari probabilitas berkisar antara 0 sampai dengan 1. Jika semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 0, maka semakin kecil juga kemungkinan suatu kejadian akan terjadi. Jika semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 1, maka semakin besar peluang suatu kejadian akan terjadi.

B. Konsep Dasar Teori Probabilitas

Pada kondisi tertentu kejadian stokastik merupakan hal-hal yang mungkin terjadi atau mungkin juga tidak terjadi. Probabilitas digunakan untuk mengukur kemungkinan terjadinya kejadian stokastik tersebut dimana probabilitas memiliki nilai antara 0 dan 1. Nilai 1 menunjukkan suatu kejadian yang pasti terjadi dan 0 menunjukkan kejadian yang mustahil terjadi.

C. Manfaat Probabilitas

Mempelajari probabilitas sangat berguna untuk pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan didunia tidak ada kepastian, sehingga diperlukan untuk mengetahui berapa besar probabilitas suatu peristiwa akan terjadi. Contoh :

· Pembelian harga saham berdasarkan analisis harga saham.

· Peluang produk yang dihasilkan perusahaan (sukses atau tidak )

Kita lihat pada percobaan statistik pada pelemparan sebuah uang logam, kita tidak tahu dengan pasti hasilnya, apakah yang akan muncul sisi muka atau sisi belakang dari uang logam tersebut.

Meskipun kejadian tersebut tidak pasti, tetapi kita bisa melihat fakta-fakta yang ada untuk menuju derajat kepastian atau derajat keyakinan bahwa sesuatu akan terjadi. Derajat/tingkat kepastian atau keyakinan dari munculnya hasil percobaan statistic disebut probabilitas atau peluang. Suatu probabilitas dilambangkan dengan P.

Probabilitas biasanya dinyatakan dengan bilangan desimal (seperti 0,50 ; 0,25 atau 0,70) atau bilangan pecahan (seperti ).

Nilai dari probabilitas berkisar antara 0 dan 1. Semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 0, semakin kecil kemungkinan suatu kejadian akan terjadi. Sebaliknya semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 1 semakin besar peluang suatu kejadian akan terjadi.

Dalam Probabilitas ada 3 hal yang penting yaitu :

1. Percobaan (experiment),

Percobaan adalah aktivitas atau proses yang menghasilkan suatu peristiwa tanpa memperlihatkan peristiwa mana yang terjadi. Misalnya: kegiatan melempar uang, akan menghasilkan peristiwa muncul gambar atau angka.

2. Hasil (out come). Hasil adalah suatu hasil dari suatu percobaan. Dalam hasil ini akan dicatat atau dalam artian seluruh peristiwa yang akan terjadi dalam sebuah percobaan, misal dalam kegiatan melempar uang muncul gambar atau angka.

3. Peristiwa (event).Peristiwa adalah hasil yang terjadi dari suatu kejadia.

D. Pendekatan

Konsep-konsep probabilitas tidak hanya penting oleh karena terapan-teranpannya yang langsung pada masalah-masalah bisnis akan tetapi juga karena probabilitas adalah dasar dari sampel-sampel dan inferences tentang populasi yang dapat dibuat dari suatu sampel.

1. Pendekatan Perhitungan Probabilitas

Ada 3 (tiga) pendekatan konsep untuk mendefinisikan probabilitas dan menentukan nilai-nilai probabilitas, yaitu :

a. Pendekatan Klasik

Pendekatan klasik didasarkan pada banyaknya kemungkinan-kemungkinan yang dapat terjadi pada suatu kejadian. “Jika ada a banyaknya kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A, dan b banyaknya kemungkinan tidak terjadi pada kejadian A, serta masing-masing kejadian mempunyai kesempatan yang sama dan saling asing”. Probabilitas bahwa akan terjadi A adalah P(A) = a / (a+b).

b. Pendekatan Frekuensi Relatif

Nilai probabilitas ditentukan atas dasar proporsi dari kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu observasi atau percobaan. Tidak ada asumsi awal tentang kesamaan kesempatan, karena penentuan nilai-nilai probabilitas didasarkan pada hasil obserbasi dan pengumpulan data. Misalkan berdasarkan pengalaman pengambilan data sebanyak N terdapat a kejadian yagng bersifat A. Dengan demikian probabilitas akan terjadi A untuk data adalah P(A) = A /N.

c. Pendekatan Subyektif

Pendekatan subyektip dalam penentuan nilaiprobabilitas adalah tepat atau cocok apabila hanya ada satu kemungkinan kejadian terjadi dalam satu kejadian. Dengan pendekatan ini, nilai probabilitas dari suatu kejadian ditentukan berdasarkan tingkat kepercayaan yang bersifat individual dengan berlandaskan pada semua petunjuk yang dimilikinya.

E. Hukum Probabilitas

1. Hukum Pertambahan

Terdapat 2 kondisi yang harus diperhatikan yaitu:

a. Mutually Exclusive (saling meniadakan)

Rumus: P (A U B) = P (A atau B)= P (A) + P (B)
Contoh: Probabilitas untuk keluar mata 2 atau mata 5 pada pelemparan satu kali sebuah dadu adalah : P(2 U 5) = P (2) + P (5) = 1/6 + 1/6 = 2/6

b. Non Mutually Exclusive (dapat terjadi bersama)

Peristiwa Non Mutually Exclusive (Joint) Ø dua peristiwa atau lebih dapat terjadi bersamasama (tetapi tidak selalu bersama)
Contoh: penarikan kartu as dan berlian: P (A U B) =P(A) + P (B) – P(A ∩B)

2. Hukum Perkalian

Terdapat dua kondisi yang harus diperhatikan apakah kedua peristiwa tersebut saling bebas atau bersyarat.

a. Peristiwa Bebas (Hk Perkalian)

Apakah kejadian atau ketidakjadian suatu peristiwa tidak mempengaruhi peristiwa lain.
Contoh: Sebuah coin dilambungkan 2 kali maka peluang keluarnya H pada lemparan pertama dan pada lemparan kedua saling bebas. P(A ∩B) = P (A dan B) = P(A) x P(B)

Contoh soal 1: Sebuah dadu dilambungkan dua kali, peluang keluarnya mata 5 untuk kedua kalinya adalah: P (5 ∩ 5) = 1/6 x 1/6 = 1/36

Contoh soal 2: Sebuah dadu dan koin dilambungkan bersama-sama, peluang keluarnya hasil lambungan berupa sisi H pada koin dan sisi 3 pada dadu adalah: P (H) = ½, P (3) = 1/ P (H ∩ 3) = ½ x 1/6 = 1/12

b. Peristiwa tidak bebas (Hk. Perkalian)

Peristiwa tidak bebas > peristiwa bersyarat (Conditional Probability).

Dua peristiwa dikatakan bersyarat apabila kejadian atau ketidakjadian suatu peristiwa akan berpengaruh terhadap peristiwa lainnya.
Contoh: Dua buah kartu ditarik dari set kartu bridge dan tarikan kedua tanpa memasukkan kembali kartu pertama, maka probabilitas kartu kedua sudah tergantung pada kartu pertama yang ditarik.

Simbol untuk peristiwa bersyarat adalah P (B│A) -> probabilitas B pada kondisi AP(A ∩B) = P (A) x P (B│A)

Contoh soal: Dua kartu ditarik dari satu set kartu bridge, peluang untuk yang tertarik keduanya kartu as adalah sebagai berikut: Peluang as I adalah 4/52 -> P (as I) = 4/52

Peluang as II dengan syarat as I sudah tertarik adalah 3/51

P (as II │as I) = 3/51

P (as I ∩ as II) = P (as I) x P (as II│ as I)

= 4/52 x 3/51 = 12/2652 =1/221

F. Beberapa Aturan Dasar Probabilitas

Aturan Penjumlahan :

Untuk menerapkan aturan penjumlahan ini, harus dilihat jenis kejadiannya apakah bersifat saling meniadakan atau tidak saling meniadakan.

1. Kejadian Saling Meniadakan :

Dua peristiwa atau lebih disebut saling meniadakan jika kedua atau lebih peristiwa itu tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Jika peristiwa A dan B saling meniadakan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah

P(A atau B) = P(A) + P(B) atauP(A È B) = P(A) + P(B)

Contoh :

Sebuah dadu dilemparkan ke atas, peritiwanya adalah A = peristiwa mata dadu 4 muncul. B = peristiwa mata dadu lebih kecil dari 3 muncul.

Tentukan probabilitas dari kejadian berikut !

Mata dadu 4 atau lebih kecil dari 3 muncul!

Penyelesaian :

P(A) = 1/6

P(B) = 2/6

P(A atau B) = P(A) + P(B)

= 1/6 + 2/6

= 0,5

2. Kejadian Tidak Saling Meniadakan :

Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa tidak saling meniadakan apabila kedua peristiwa atau lebih tersebut dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Jika dua peristiwa A dan B tidak saling meniadakan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah:

P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(A dan B)

P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B)

Jika 3 peristiwa A, B, dan C tidak saling meniadakan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah:

P(A È B È C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A Ç B) – P(A Ç C) – P(B Ç C) + P(A Ç B Ç C)

Contoh :

Dua buah dadu dilemparkan bersamaan, apabila :

A = peristiwa mata (4, 4) muncul.

B = peristiwa mata lebih kecil dari (3, 3) muncul.

Tentukan probabilitas P(A atau B) !

Penyelesaian :

P(A) = 1/36

P(B) = 14/36

P(A Ç B) = 0

P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B)

= 1/36 + 14/36 – 0

= 0,42

Aturan Perkalian :

Dalam konsep probabilitas, aturan perkalian diterapkan secara berbeda menurut jenis kejadiannya. Ada dua jenis kejadian dalam hal ini, yaitu kejadian tak bebas dan kejadian bebas.

1. Kejadian Tak Bebas

Dua peristiwa atau lebih disebut kejadian tidak bebas apabila peristiwa yang satu dipengaruhi atau tergantung pada peritiwa lainnya. Probabilitas peristiwa tidak saling bebas dapat pula dibedakan atas tiga macam, yaitu yaitu probabilitas bersyarat, gabungan, dan marjinal.

a. Probabilitas Bersyarat

Probabilitas bersyarat peristiwa tidak saling bebas adalah probabilitas terjadinya suatu peristiwa dengan syarat peristiwa lain harus terjadi dan peristiwa-peristiwa tersebut saling mempengaruhi. Jika peristiwa B bersyarat terhadap A, probabilitas terjadinya periwtiwa tersebut adalah P(B/A) dibaca probabilitas terjadinya B dengan syarat peristiwa A terjadi.

Contoh :

Sebuah kotak berisikan 11 bola dengan rincian :

5 buah bola putih bertanda +

1 buah bola putih bertanda –

3 buah bola kuning bertanda +

2 buah bola kuning bertanda –

Seseorang mengambil sebuah bola kuning dari kotak

Berapa probabilitas bola itu bertanda +?

Penyelesaian :

Misalkan : A = bola kuning

B⁺ = bola bertanda positif

B^- = bola bertanda negatif.

P(A) = 5/11

P(B⁺ Ç A) = 3/11

b. Probabilitas Gabungan

Probabilitas gabungan peritiwa tidak saling bebas adalah probabilitas terjadinya dua atau lebih peristiwa secara berurutan (bersamaan) dan peristiwa-peristiwa itu saling mempengaruhi.

Jika dua peristiwa A dan B gubungan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah

P(A dan B) = P(A Ç B) = P(A) x P(B/A)

Jika tiga buah peristiwa A, B, dan C gabungan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah

P(A Ç B Ç C) = P(A) x P(B/A) x P(C/A Ç B)

Contoh :

Dari satu set kartu bridge berturut-turut diambil kartu itu sebanyak 2 kali secara acak. Hitunglah probabilitasnya kartu king (A) pada pengambilan pertama dan as(B) pada pengambilan kedua, jika kartu pada pengambilan pertama tidak dikembalikan !

Penyelesaian :

(A) = pengambilan pertama keluar kartu king.

P(A) = 4/52

(B/A) = pengambilan kedua keluar kartu as

P(B/A) = 4/51

P(A Ç B) = P(A) x P(B/A)

= 4/52 x 4/51

= 0,006

c. Probabilitas Marjinal

Probabilitas marjinal peristiwa tidak saling bebas adalah probabilitas terjadinya suatu peristiwa yang tidak memiliki hubungan dengan terjadinya peristiwa lain dan peristiwa tersebut saling mempengaruhi. Jika dua peristiwa A adalah marjinal, probabilitas terjadinya peristiwa A tersebut adalah

P(A) = SP(B Ç A)

= SP(A_i) x P(B/A_i), i = 1, 2, 3, …..

Contoh :

Sebuah kotak berisikan 11 bola dengan rincian :

5 buah bola putih bertanda +

1 buah bola putih bertanda –

3 buah bola kuning bertanda +

2 buah bola kuning bertanda –

Tentukan probabilitas memperoleh sebuah bola putih !

Penyelesaiana :

Misalkan : A = bola putih

B⁺ = bola bertanda positif

B^- = bola bertanda negatif

P(B⁺ Ç A) = 5/11

P(B^- Ç A) = 1/11

P(A) = P(B⁺ Ç A) + P(B^- Ç A)

= 5/11 + 1/11

= 6/11

2. Kejadian Bebas

Dua kejadian atau lebih dikatakan merupakan kejadian bebas apabila terjadinya kejadian tersebut tidak saling mempengaruhi. Dua kejadian A dan B dikatakan bebas, kalau kejadian A tidak mempengaruhi B atau sebaliknya. Jika A dan B merupakan kejadian bebas, maka P(A/B) = P(A) dan P(B/A) = P(B)

P(A Ç B) = P(A) P(B) = P(B) P(A)

Contoh :

Satu mata uang logam Rp. 50 dilemparkan ke atas sebanyak dua kali. Jika A₁ adalah lemparan pertama yang mendapat gambar burung(B), dan A₂ adalah lemparan kedua yang mendapatkan gambar burung(B), berapakah P(A₁ Ç A₂)!

Penyelesaian :

Karena pada pelemparan pertama hasilnya tidak mempengaruhi pelemparan kedua dan P(A₁) = P(B) = 0,5 dan P(A₂) = P(B) = 0,5, maka P(A₁ Ç A₂) = P(A₁) P(A₂) = P(B) P(B) = 0,5 x 0,5 = 0,25.

Rumus Bayes :

Jika dalam suatu ruang sampel (S) terdapat beberapa peristiwa saling lepas, yaitu A₁, A₂, A₃, …., A_n yang memiliki probabilitas tidak sama dengan nol dan bila ada peritiwa lain (misalkan X) yang mungkin dapat terjadi pada peristiwa-peristiwa A₁, A₂, A₃, …., A_n maka probabilitas terjadinya peristiwa-peristiwa A₁, A₂, A₃, …., A_n dengan diketahui peristiwa X tersebut adalah

Contoh :

Tiga kotak masing-masing memiliki dua laci. Didalam laci-laci tersebut terdapat sebuah bola. Didalam kotak I terdapat bola emas, dalam kotak II terdapat bola perak, dan dalam kotak III terdapat bola emas dan perak. Jika diambil sebuah kotak dan isinya bola emas, berapa probabilitas bahwa laci lain berisi bola perak?

Penyelesaian :

Misalkan : A₁ peristiwa terambil kotak I

A₂ peristiwa terambil kotak II

A₃ peristiwa terambil kotak III

X peristiwa laci yang dibuka berisi bola emas

Kotak yang memenuhi pertanyaan adalah kotak III (P(A₃/X)).

P(A₁) = 1/3 P(X/A₁) = 1

P(A₂) = 1/3 P(X/A₂) = 0

P(A₃) = 1/3 P(X/A₃) = ½

G. Permutasi Dan Kombinasi

Pembicaraan mengenai permutasi dan kombinasi selalu berkaitan dengan prinsip dasar membilang dan faktorial.

1. Prinsip Dasar Membilang

Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam n₁ cara, kejadian kedua dalam n₂ cara, demikian seterusnnya, sampai kejadian k dalam n_k cara, maka keseluruhan kejadian dapat terjadi dalam :

n₁ x n₂ x …x n_k cara

Contoh :

Seorang pengusaha ingin bepergian dari Jakarta ke Ujungpandang melalui Surabaya. Jika Jakarta – Surabaya dapat dilalui dengan tiga cara dan Surabaya – Ujungpandang dapat dilalui dengan dua cara, ada berapa cara pengusaha tersebut dapat tiba di Ujungpandang melalui Surabaya?

Penyelesaian :

misalkan : dari Jakarta ke Surabaya (n₁) = 3 cara.

Dari Surabaya ke Ujungpandang (n₂) = 2 cara.

Cara pengusaha tersebut dapat tiba di Ujungpandang melalui Surabaya adalah : n₁ x n₂ = 3 x 2 = 6 cara.

2. Faktorial

Faktorial adalah perkalian semua bilangan bulat positif (bilangan asli) terurut mulai dari bilangan 1 sampai dengan bilangan bersangkutan atau sebaliknya.

Faktorial dilambangkan: “!”.

Jika : n = 1,2, …., maka :

n! = n(n – 1)(n – 2) ….x 2 x 1

= n(n –1)!

Contoh :

Tentukan nilai factorial dari bilangan berikut

a. 5!

b. 3! X 2!

c. 6!/4!

Penyelesaian :

a. 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

b. 3! X 2! = 3 x 2 x 1 x 2 x 1 = 12

3. Permutasi

a. Pengertian Permutasi

Permutasi adalah suatu penyusunan atau pengaturan beberapa objek ke dalam suatu urutan tertentu.

Contoh :

Ada 3 objek, yaitu ABC. Pengaturan objek-objek tersebut ialah ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA yang disebut permutasi. Jadi, permutasi 3 objek menghasilkan enam pengaturan dengan cara yang berbeda.

b. Rumus-rumus Permutasi :

Permutasi dari m objek seluruhnya tanpa pengembalian : mPm = m!

Contoh :

Pada suatu tempat terdapat 4 buku matematika yang berbeda. Buku itu akan disusun pada sebuah rak buku. Berapa cara susunan yang mungkin dari buku-buku matematika dapat disusun.

Penyelesaian :

Buku-buku matematika dapat disusun dalam :

4P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara.

4. Kombinasi

a. Pengertian Kombinasi

Kombinasi adalah suatu penyusunan beberapa objek tanpa memperhatikan urutan objek tersebut.

Contoh :

Ada 4 objek, yaitu : A, B, C, D. Kombinasi 3 dari objek itu adalah ABC, ABD, ACD, BCD. Setiap kelompok hanya dibedakan berdasarkan objek yang diikutsertakan, bukan urutannya. Oleh karena itu :

ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA

ABD = ADB = BAD = BDA = DAB = DBA

ACD = CAD = ADC = CDA = DAC = DCA

BCD = BDC = CBD = CDB = DBC = DCB

Contoh :

Dari 5 pemain bulu tangkis, yaitu A, B, C, D, dan E hendak dipilih dua orang untuk pemain ganda. Berapa banyak pemain ganda yang mungkin terbentuk?

Penyelesaian :

M = 5 dan x = 2

5C2 = ---------------- = 10

(5 – 2)! . 2!

H. Contoh Soal Masalah Probabilitas dalam Kehidupan Sehari-Hari Beserta Penyelesaiannya

1. Seorang Direktur Bank mengatakan bahwa dari 100 nasabahnya terdapat 25 orang yang tidak puas dengan pelayanan banknya. Pada suatu ketika bertemu dengan salah seorang nasabah. Dan berapa probabilitas bahwa nasabah berikut tidak puas?

Penyelesaian:

Diketahui : n = 100

x = 25

Jika A adalah nasabah yang tidak puas, maka:

P(A)0 = 25/100 = 0,25 atau 25%

Jadiprobabilitas bahwa kita bertemu dengan nasabah memiliki tingkat ketidak puasan sebesar 25%

2. Ani mempunyai 5 baju atasan, 4 celana dan 6 jilbab. Berapa banyak Ani dapat menggunakan setiap harinya dengan style yang berbeda-beda?

Penyelesaian:

Combinasi = 5x4x6 = 120

Jadi ada 120 style yang berbeda dan dapat digunakan setiap harinya.

DAFTAR PUSTAKA

http://www.pengertianpakar.com/2015/04/pengertian-probabilitas-dalam-statistik.html